题目

在平面直角坐标系中AB:y=-1/2x-1与x轴交于点a,与y轴交于点b,点c为ab延长线上一点且bc=ab,
接上,抛物线y=ax^2+bx-3过点a,点c
1）求A,B,C坐标
2）求抛物线解析式及其顶点坐标

提问时间：2020-11-03

答案

1、由题设求出A、B、C三点的坐标分别为A(-2,0),B(0,-1),C(2,-2);将点A(-2,0),C(2,-2)代入y=ax^2+bx-3,求得抛物线的解析式为y= x²/2-x/2-3,故M(1/2,0).
设三角形ABO绕点M旋转后点A的对应点A'(x,x²/2-x/2-3)落在抛物线上,且该点到点M的等于AM,即AM=A'M=5/2,由两点间的距离求得x=3,y=0或x=-2,y=0,或x=2,y=-2,或x=-1,y=-2.满足条件的点A的对应点有三个,即(3,0),(2,-2),(-1,-2).
2、存在.三角形ABO绕平面内一点旋转180度后,A、B的对应点A',B'同时落在抛物线上,此时必有AB‖A'B',设直线A'B'为y=-0.5x+b,与y=0.5x²-0.5x-3联立,求得交点为(根号(6+2b),-0.5倍根号(6+2b)+b),(-根号(6+2b),0.5倍根号(6+2b)+b),而A'B'=AB=根号5,由两点间的距离求得b=-2.5,故A'(1,-3),B'(-1.-2)旋转中心坐标为(-0.5,-1.5)