题目

已知数列an的前n项和为Sn,且满足an+SnSn-1=0(n>=2,n∈N*),a1=1/2.
（1）判断1/Sn,an是否为等差数列,说明你的理由
（2）求数列an的通项公式

提问时间：2020-11-03

答案

因为An=Sn-Sn-1.
所以Sn-Sn-1+Sn*Sn-1=0,等式两边同时除以 Sn*Sn-1
得：1/Sn-1/Sn-1+ =1,
所以1/Sn 为等差数列.
因为a1=1/2.所以S1=1/2,1/S1=2.因为上面证得 1/Sn为 等差数列.
所以数列{1/Sn} =1/S1+（n-1)*1=n+1.
所以 Sn=1/（n+1）.Sn-1=1/n
带入an+SnSn-1=0 中.得an=-1/【n（n+1）】,因此an不是等差数列,且an的通项公式为 an=-1/【n（n+1）】.
带入n=1,与题目中an-1/2不符.
所以 an=1/2 ,当n=1时
an=-1/【n（n+1）】,当n>=2时.