题目
已知函数y=mx2-3x+2(m是常数).
(1)求证:不论m为何值,该函数的图象都经过y轴上的一个定点;
(2)若一次函数y=x+1的图象与该函数的图象恰好只有一个交点,求m的值 及这个交点的坐标.
(1)求证:不论m为何值,该函数的图象都经过y轴上的一个定点;
(2)若一次函数y=x+1的图象与该函数的图象恰好只有一个交点,求m的值 及这个交点的坐标.
提问时间:2020-11-03
答案
(1)令x=0,
则y=2,该函数的图象都经过y轴上的一个定点(0,2);
∴该函数的图象都经过y轴上的一个定点.
(2)当m=0时,两函数均为一次函数且比例系数不同,必有一交点,列方程组得
;
解得
,即交点坐标为(
,
);
当m≠0时,把y=x+1代入y=mx2-3x+2得,x+1=mx2-3x+2,整理得mx2-4x+1=0,
∵两函数图象只有一个交点;
∴△=0,即△=(-4)2-4m=0.
解得m=4,
把m=4代入方程mx2-4x+1=0得,4x2-4x+1=0,解得x=
,
把x=
代入一次函数y=x+1得,y=
+1=
,即两函数交点坐标为(
,
).
故当m=0时,两函数交点坐标为(
,
);
当m=4时,两函数交点坐标为(
,
).
则y=2,该函数的图象都经过y轴上的一个定点(0,2);
∴该函数的图象都经过y轴上的一个定点.
(2)当m=0时,两函数均为一次函数且比例系数不同,必有一交点,列方程组得
|
解得
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1 |
4 |
5 |
4 |
当m≠0时,把y=x+1代入y=mx2-3x+2得,x+1=mx2-3x+2,整理得mx2-4x+1=0,
∵两函数图象只有一个交点;
∴△=0,即△=(-4)2-4m=0.
解得m=4,
把m=4代入方程mx2-4x+1=0得,4x2-4x+1=0,解得x=
1 |
2 |
把x=
1 |
2 |
1 |
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3 |
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1 |
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故当m=0时,两函数交点坐标为(
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当m=4时,两函数交点坐标为(
1 |
2 |
3 |
2 |
(1)分两种情况讨论:
当m=0时,函数为一次函数,由于求证点在y轴上,令x=0,可求出图象与y轴的交点;
当m≠0时,函数为二次函数,由于求证点在y轴上,令x=0,可求出图象与y轴的交点.然后验证该两点为同一点即可.
(2)当m=0时,两函数均为一次函数,必有一交点; 当m≠0时函数为二次函数,将两函数组成方程组,转化为一元二次方程,利用根的判别式求m的值即可.
当m=0时,函数为一次函数,由于求证点在y轴上,令x=0,可求出图象与y轴的交点;
当m≠0时,函数为二次函数,由于求证点在y轴上,令x=0,可求出图象与y轴的交点.然后验证该两点为同一点即可.
(2)当m=0时,两函数均为一次函数,必有一交点; 当m≠0时函数为二次函数,将两函数组成方程组,转化为一元二次方程,利用根的判别式求m的值即可.
二次函数的性质;根的判别式;二次函数图象上点的坐标特征.
本题考查的是二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特点及根的判别式,在解答此题时要注意分类讨论,不要漏解.
举一反三
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