题目

在角ABC中,求证：a平方－b平方/c平方=sin(A-B)/sinC

提问时间：2020-11-02

答案

因为 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2r (r是三角形外接圆半径)
所以 a=2rsinA,b=2rsinB,c=2rsinC
代入,等式左边＝[(sinA)^2-(sinB)^2]/(sinC)^2
＝(sinA+sinB)(sinA-sinB)/(sinC)^2 （平方差公式因式分解）
＝[2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2)][2sin((A-B)/2)cos((A+B)/2)]/(sinC)^2 （和差化积）
＝[2cos(C/2)cos((A-B)/2)][2sin((A-B)/2)sin(C/2)]/(sinC)^2 （利用了A＋B＝180－C）
＝[2cos(C/2)sin(C/2)][2sin((A-B)/2)cos((A-B)/2)]/(sinC)^2 （移项）
＝(sinC)sin(A-B)/(sinC)^2 （两倍角公式）
＝sin(A-B)/sinC （约分）
＝右边