题目

函数f（x）是定义在R上的奇函数,且对任意x∈R都有f（x+1）=f（1-x）成立,若当x∈[0,1]时,f（x）=loga（x+1）,a＞1
（1）求f（10）的值
（2）求x∈[2011,2013]时,函数f（x）的表达式
（3）若函数f（x）的最大值为1/2,解关于x的不等式f（x）＞1/4
求第三问啊= =

提问时间：2020-11-02

答案

函数f（x）是定义在R上的奇函数 f(-x)=f(x)
f(x+4)=f[x+3)+1]=f[1-3-x]=-f(x+2)=-f[(x+1)+1]=-[f(1-1-x)=-f(-x)=f(x)
∴f(x)是周期为4的函数
⑴f(2)=-f(-2)=-f(-2+4)=-f(2) ∴f(2)=0
f(10)=f(2×4+2)=f(2)=0
⑵2011=503×4-1 2013=503×4+1
∴x∈[2011,2012] f(x)=-loga [1-(x-2012)]=-loga (2013-x)
x∈[2012,2013] f(x)=loga [1+(x-2012)]=loga (x-2011)
⑶∵f（x+1）=f（1-x）∴f(x)关于直线x=1对称
∴f（x）在[0,1]上是增函数[1,2]是减函数
∵函数f（x）是定义在R上的奇函数
∴f（x）在[-1,0]上是增函数[-2,-1]是减函数
f（x）在一个周期[-2,2]内在X=1处取最大值X=-1最小值
f(1)=1/2 loga 2=1/2 a=4
在一个周期内[-2,2] 解 f(x)>1/4
∴√2-1＜x＜3-√2
∵f(x)是周期为4的函数
∴f(x)>1/4 的解 (4k＋√2－1,4k＋3－√2) k∈Z