题目

高等代数问题：书上有句话不理解,见下述
“实数域上不可约多项式只有一次的和某些二次的.有理系数多项式环中有任意次数的不可约多项式.” 实数不是包括有理数吗?怎么有理数都可以有任意次数的不可约多项式,而实数却不行呢?求教.是不是有理系数和有理域不是一档子事?

提问时间：2020-11-02

答案

比如x^2-3在Q[X]上不可约,因为x^2-3=0两根为正负根号3,不是有理数.但正负根号3属于实数,在R[X]有分解x^2-3=(x+3^0.5)(x-3^0.5),所以可约
构造n次多项式f(x)=x^n-2(n=1,2,……),因为x^n=2当n>1时没有有理根,所以f(x)在Q[X]中不可约
对于实数域二次不可约多项式,根据代数基本定理,R[X]上n（n>1)次多项式f(x)=0有n个复根（重复计数）,但复根z和共轭复数z'总是成对出现,则配对后f含有因式或为x-a(a属于R）,或者有状如（x-z)(x-z')=x^2-2(rez)x+z*z'的实系数二次多项式且判别式小于0.反过来判别式小于零的实二次多项式在R[X]总不可约.故实数域上不可约多项式只有一次多项式和判别式小于零的二次多项式