题目

设x，y≠0，且方程（x²+xy+y²）a=x²-xy+y²成立，则实数a的取值范围是______．

提问时间：2020-11-02

答案

由题意可得a=

x2−xy+y2

x2+xy+y2

=

( x y )2− x y +1

( x y )2+ x y +1

，
令

x

y

=t≠0，可得a=

t2−t+1

t2+t+1

=1-

2t

t2+t+1

=1-

2

t+ 1 t +1

，
变形可得

2

1−a

−1=t+

1

t

，
由基本不等式可得t+

1

t

≥2或t+

1

t

≤-2，
∴

2

1−a

−1≥2或

2

1−a

−1≤-2，
解得

1

3

≤a＜1或1＜a≤3
故答案为：

1

3

≤a＜1或1＜a≤3