题目

已知数列{an}的前n项和为sn,点(n,Sn)在函数y=x^2的图像上,数列{bn}满足bn=6bn-1+2^(n+1)(n≥2）,且b1=a1+3 (1)证明{bn/2^n+1}是等比数列,求{bn}通项（2）设数列{Cn}满足对任意的n∈N+）均有an+1=c1/(b1+2）+c2/（b2+2^2)+…+cn/(bn+2^n)成立,c1+c2+c3+…+c2010的值

提问时间：2020-11-02

答案

(1)Sn=n²,所以a1=1,an=Sn-S(n-1)=n²-(n-1)²=2n-1,是等差数列.
b1=a1+3=4,bn=6b(n-1)+2^(n+1),bn/2^n=6b(n-1)/2^n+2=3b(n-1)/2^(n-1)+2,
bn/2^n +1 =3b(n-1)/2^(n-1)+2+1=3[b(n-1)/2^(n-1)+1],
所以bn/2^n +1是等比数列,首项(b1)/2 +1=3,公比q=3,
所以bn/2^n +1=3^n,
bn=2^n *(3^n -1)=6^n -2^n
(2)由上小题有bn+2^n=6^n,
对任意的n∈N+）均有a(n+1)=c1/(b1+2）+c2/（b2+2^2)+…+cn/(bn+2^n)成立,就是：
a(n+1)=c1/6+c2/6²+…+cn/6^n,
cn=[a(n+1)-an]*6^n=2*6^n,
c1+c2+c3+…+c2010=2(6+6²+...+6^2010)=(12/5)*(6^2010 -1)