题目

设M是平行四边形ABCD的对角线的交点.证明对任意一点O,向量OM=（向量OA+向量OB+向量OC+向量OD)四分之一
还有一题：设AD,BE,CF是三角形ABC的三条中线,用向量AB和AC表示向量AD,BE,CF,并且求向量AD+BE+CF 急用

提问时间：2020-11-02

答案

1题：向量OA=OM+MA
OB=OM+MB
OC=OM+MC
OD=OM+MD
四个等式相加 ：OA+OB+OC+OD=4OM+(MA+MB+MC+MD)
由于平行四边形对角线 则有MA=-MC MB=-MD
故MA+MB+MC+MD=0
OA+OB+OC+OD=4OM OM=(OA+OB+OC+OD)/4
2题：四边形AFDE为平行四边形 （由中线定理可得）
则向量AD=向量AF+AE=AB/2+AC/2
即AD=（AB+AC）/2
AE=AC/2 BA+AE=BE 则BE=AC/2-AB
同理 CF=AB/2-AC
AD+BE+CF=AB/2+AC/2+AC/2-AB+AB/2-AC=0