题目

在四边形ABCD中,向量AB=a,向量BC=b,向量CD=c,向量DA=d,且ab=bc=cd=da 试判断此四边形的形
在四边形ABCD中,向量AB=a,向量BC=b,向量CD=c,向量DA=d,且ab=bc=cd=da（abcd是向量）,试判断此四边形的形状 .
弱智的边边去.别给我说什么因为ab=bc 所以a=c之类的.

提问时间：2020-11-02

答案

其实楼上说的对,此题直观上判断确实如此
一直在想有没有解析方法,还好,想到了：
a·b=b·c=c·d=d·a
即：|a||b|cosB=|b||c|cosC=|c||d|cosD=|d||a|cosA
其实是有负号的,约去了
A、B、C、D都是锐角,可能满足等式,但不满足四边形内角和为2π
A、B、C、D都是钝角,可能满足等式,但更不满足四边形内角和为2π
A、B、C、D中如果既有锐角,又有钝角,不满足等式
故只能是：A=B=C=D=π/2,即为矩形
-----------------------------------解析推导：
a+b+c+d=0
2边点乘a：即：|a|^2+a·b+a·c+a·d=|a|^2+2a·b+a·c=0--------(1)
2边点乘b：即：|b|^2+a·b+b·c+b·d=|b|^2+2a·b+b·d=0--------(2)
2边点乘c：即：|c|^2+a·c+b·c+c·d=|c|^2+2a·b+a·c=0---------(3)
2边点乘d：即：|d|^2+a·d+b·d+c·d=|d|^2+2a·b+b·d=0--------(4)
(1)-(3)：|a|=|c|
(2)-(4)：|b|=|d|
到此可以判断为平行四边形,继续：
a·b=b·c,即：|a||b|cosB=|b||c|cosC
即：cosB=cosC
b·c=c·d,即：|b||c|cosC=|c||d|cosD
即：cosC=cosD
c·d=d·a,即：|c||d|cosD=|d||a|cosA
即：cosD=cosA
即：cosA=cosB=cosC=cosD
因为是平行四边形,故A、B、C、D都不能超过π
在(0,π)内,余弦函数单调递减,故：A=B=C=D
即：A=B=C=D=π/2
即为矩形