题目

高等数学求柱面方程
求对称抽为x=y/2=z/3,直截面是半径为2的圆周的柱面的方程.
提供思路即可,

提问时间：2020-11-02

答案

直线L:x=y/2=z/3的方向向量为(1,2,3),过原点并且与直线L垂直的平面M方程为x+2y+3z=0;
现作半径为2且过原点的球x²+y²+z²=4,平面M与球的交线则是所求柱面的一个直截面的圆周(过原点的那个截面);
那么这个圆周的方程为x+2y+3z=0,x²+y²+z²=4,这个圆周上每个点(x,y,z)都在所求柱面上,而且所有过点(x,y,z)并且平行于对称轴的直线必定在柱面上;即直线(X-x)=(Y-y)/2=(Z-z)/3在柱面上.
联立方程x+2y+3z=0,x²+y²+z²=4,(X-x)=(Y-y)/2=(Z-z)/3,消去x,y,z,最后能得到一个关于X,Y,Z的等式,就是柱面方程；
还有一种方法,这个圆周的方程为x+2y+3z=0,x²+y²+z²=4,想办法把他化为参数方程:
x=a(t),y=b(t),z=c(t),那么柱面参数方程就是x=a(t)+λ,y=b(t)+2λ,z=c(t)+3λ,