题目

排列组合平均分组问题,
4个不同的球,4个不同的箱子,把球全放入盒内,恰有两个盒子不放球,有多少种放法?
过程是c（4,3）*c（4,2）*A（2,2）=48
C（4,2）c（4,2）*A（2,2）/A(2,2)=36
我的问题是,为什么第二步要除以A(2,2)

提问时间：2020-11-02

答案

由题设,放球可分为两个步骤：（一）先从4个盒子里取出2个盒子放球,取法有C(4,2)=6种.（二）把4个球分为两份,即(1,3)和(2,2).(①)当分法为(1,3)时,只要从4个球里拿出1个球,即可分为两份,这样分没有重复,分法为C(4,1)=4种.（②）当4个球均分为两份时,分法为C(4,2)/A(2,2)=3种.此处为何要除以A(2,2)呢?这是因为有重复,如a,b,c,d4个元素均分为两份,(ab,cd,),(ac,bd),(ad,bc),仅有3种分法,若按C(4,2)计算就有6种分法.重复了,故除以2.∴把4个球分为两份,分法有C(4,1)+C(4,2)/A(2,2)=4+3=7种.拿出两个盒子,每种分球法又有两种放法,∴总的分法有C(4,2)×{2[C(4,1)+C(4,2)/A(2,2)]}=6×[2(4+3)]=6×14=84种.