题目
求最小的正实数k,使不等式ab+bc+ca+k(1/a+1/b+1/c)大于等于9对所有正实数a,b,c都成立.
提问时间:2020-11-02
答案
由题设及基本不等式x+y+z≥3(xyz)^(1/3),可得
ab+[k/(2a)]+[k/(2b)]≥3(k²/4)^(1/3)
bc+[k/(2b)]+[k/(2c)]≥3(k²/4)^(1/3)
ca+[k/(2c)]+[k/(2a)]≥3(k²/4)^(1/3)
上面三式相加,可得
ab+bc+ca+[(1/a)+(1/b)+(1/c)]≥9(k²/4)^(1/3)
∴由题设可知,此时必有 9(k²/4)^(1/3)≥9
∴必有k²≥4
∴k≥2
∴k最小取2.
ab+[k/(2a)]+[k/(2b)]≥3(k²/4)^(1/3)
bc+[k/(2b)]+[k/(2c)]≥3(k²/4)^(1/3)
ca+[k/(2c)]+[k/(2a)]≥3(k²/4)^(1/3)
上面三式相加,可得
ab+bc+ca+[(1/a)+(1/b)+(1/c)]≥9(k²/4)^(1/3)
∴由题设可知,此时必有 9(k²/4)^(1/3)≥9
∴必有k²≥4
∴k≥2
∴k最小取2.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
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