题目

已知函数f(x)=-x^3+ax^2+bx+c在(-∞,0)上是减函数,在(0,1)上是增函数,函数f(x)在r上有三个零点,且1是其中
且1是其中一个零点,则f(2)的取值范围是?

提问时间：2020-11-02

答案

f(x)=-x³+ax²+bx+c①
f'(x)=-3x²+2ax+b ②
∵函数在(-∞,0)是减函数,在(0,1)上是增函数 即x=0 是极值点
故 x=0时,f'(x)=0,代入①得 b=0
∴f'(x)=-3x²+2ax=-x(3x-2a)
令f'(x)=-x(3x-2a)=0,解得 x=0 或 x=2a/3
∵f'(x)两零点为 0 ,2a/3 ,开口向下
又∵(-∞,0)减函数,f'(x)≤0,(0,1) 为增函数,即f'(x)≥0
∴2a/3≥1,即a≥3/2③
∵x=1时,f(1)=0,代入①
∴-1+a+c=0 ,c=1-a
∴f(x)=-x³+ax²+1-a⑥
∴f(x)=-(x³-1)+a(x²-1)=-(x-1)(x²+x+1-ax-a)=-(x-1)(x²+(1-a)x+1-a)
∵f(x)有三个零点
∴x²+(1-a)x+1-a=0有两个根
∴判别式 Δ>0 ,Δ= (1-a)²-4(1-a)=(a-1)(a+3)>0
∴a>1或a