题目

如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，CE与BD相交于点M，BD交AC于点N．
证明：（1）BD=CE；（2）BD⊥CE．

提问时间：2020-11-02

答案

证明：（1）∵∠BAC=∠DAE=90°
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD
即∠CAE=∠BAD
在△ABD和△ACE中

AB＝AC ∠CAE＝∠BAD AD＝AE

∴△ABD≌△ACE（SAS）
∴BD=CE
（2）∵△ABD≌△ACE
∴∠ABN=∠ACE
∵∠ANB=∠CND
∴∠ABN+∠ANB=∠CND+∠NCE=90°
∴∠CMN=90°
即BD⊥CE．

（1）要证明BD=CE，只要证明△ABD≌△ACE即可，两三角形中，已知的条件有AD=AE，AB=AC，那么只要再得出两对应边的夹角相等即可得出三角形全等的结论．我们发现∠BAD和∠EAC都是90°加上一个
∠CAD，因此∠CAE=∠BAD．由此构成了两三角形全等中的（SAS）因此两三角形全等．
（2）要证BD⊥CE，只要证明∠BMC是个直角就行了．由（1）得出的全等三角形我们可知：
∠ABN=∠ACE，三角形ABC中，∠ABN+∠CBN+∠BCN=90°，根据上面的相等角，我们可得出∠ACE+∠CBN+∠BCN=90°，即∠ABN+∠ACE=90°，因此∠BMC就是直角了．

本题考点：全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．

考点点评：本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定等知识点，利用全等三角形得出线段相等和角相等是解题的关键．