题目

关于“若N阶矩阵A与B相似,则A与B的特征值多项式相同”证明的疑问
证明：|B-λE|=|P^(-1)AP-λE|=|A-λE|.关键是|B-λE|=|A-λE|只表明两个行列式数值相等,并不说明B-λE和A-λE是相同的矩阵,从而特征值λ相等.
可特征多项式是|B-λE|、|A-λE|两个行列式的展开，行列式数值相等，怎么证明其展开式是相同的？

提问时间：2020-11-02

答案

他说的是特征多项式相等!
没有说矩阵相等!
你可以看看特征多项式的定义：
一个方阵X的特征多项式f(λ)就是|X-λE|.
那么命题是完全正确的!
您可能有些概念混淆了.
首先行列式就是行列式,您在这里说的“行列式的展开”可能是种误解.
（不过倒是有：行列式按一行或一列展开：这是行列式递推计算式）
举个例子吧：
有一个3阶方阵：
a,b,c
A=[ x,y,z ]
l,m,n
那么它的行列式为：
a,b,c
|A|=| x,y,z |=a*y*n+b*z*l+x*m*c-c*y*l-z*m*a-x*b*n
l,m,n
您是不是以为上式的左式叫行列式,上式的右式叫行列式的展开?
其实它们是一个东西,只是写得不一样.
如果您把行列式与行列式的展开理解成了是两个东西,比如：
“行列式”像一个左右带着竖线的矩阵.
“行列式的展开”是一个多项式；
那么其实：那左右的竖线即为一个法则,矩阵即为原象,多项式即为象.
就好比：
现在已经证明了
f(x1)=f(x2)
可是您说这并不能证明f(x1)与f(x2)的展开相等.
这问法似乎诡谲.