题目

证明若A、B是两个实对称的n阶正定矩阵,则A B亦然

提问时间：2020-11-02

答案

题目不对吧 如A= ( 1 0 ) B=( 3 1 ) 则 AB=( 3 1 ) 都不对
( 0 2 ) ( 1 4 ) ( 2 8 )
称更别说正定了( 上面是3个2阶方阵 打不好 上下对不齐)
我觉得原题是说 AB特征植大于0
证明 A B正定 存在 P Q 可逆 A=P*TP B=Q*TQ ( 这里用T表转置)
则 DET( xI-AB)=DET(xI-P*TP*Q*TQ)=DET(xI-TP*Q*TQ*P)
这里用到 DET(xI-XY)=DET(xI-YX)这个等式 应该学过吧
则 因为TP*Q*TQ*P显然正定 所以DET(xI-TP*Q*TQ*P)=0根全为正数
所以 DET( xI-AB)=0根全为正数 所以AB特征值大于0
刚才没想好 想繁了 其实 AB相似于(不一定正交相似)对角阵
且 对角元正 这是因为 A=P*TP 所以 AB 相似于 P逆*A*B*P=
TP*B*P=TP*Q*TQ*P 正交 所以 相似于对角阵且 对角元正