题目

若a满足x+lgx=4,b满足x+10^x=4,当x>0时f(x)=2,当x

提问时间：2020-11-02

答案

①先从简单入手,当x＞0时,f(x)＝2,这部分图像显然是一条射线,它和y＝x仅有一个交点(2,2),此时x＝2为一解；
②我们知道对数函数和指数函数互为反函数,从图像来看,两者关于直线y＝x对称.单单α和β是求不出来的就我们现在所学的知识而言,但是你看题目条件“当x≤0时,f(x)＝x^2+(α+β)x+2”中α和β是和在一起的,那么α+β是否为常数呢?且看下面的分析：
将x+lgx＝4和x+10^x＝4中的x移到等式的右边便是lgx＝4-x,10^x＝4-x,在同一直角坐标系中作出y＝lgx、y＝10^x和y＝4-x的图像那么α和β就分别为y＝lgx、y＝10^x与y＝4-x的交点的横坐标!注意到y＝lgx与y＝10^x关于y＝x对称,加之y＝4-x与两者相交,那么两交点的中点必为y＝x与y＝4-x的交点,它是(2,2),
∴α、2β成等差数列,有α+β＝2*2＝4
∴当x≤0时,f(x)＝x^2+4x+2
再令x^2+4x+2＝x,即x^2+3x+2＝0,
解得 x=-1或x=-2
综上可知方程f(x)=x共有3个解 ,即x=-1,x=-2,x=2