题目

如图：BE⊥AC，CF⊥AB，BM=AC，CN=AB．求证：（1）AM=AN；（2）AM⊥AN．

提问时间：2020-11-01

答案

证明：（1）∵BE⊥AC，CF⊥AB，
∴∠1+∠BMF=90°，∠2+∠CME=90°，
∵∠BMF=∠CME（对顶角相等），
∴∠1=∠2，
在△ABM和△NCA中，
∵

BM＝AC ∠1＝∠2 CN＝AB

，
∴△ABM≌△NCA（SAS），
∴AM=AN；
（2）根据（1）可得△ABM≌△NCA，
∴∠3=∠N，
∵CF⊥AB，
∴∠4+∠N=90°，
∴∠3+∠4=90°，
即∠MAN=90°，
因此，AM⊥AN．

（1）根据直角三角形两锐角互余可得∠1=∠2，然后利用“边角边”证明△ABM和△NCA全等，根据全等三角形对应边相等即可证明；
（2）根据全等三角形对应角相等可得∠3=∠N，再根据CF⊥AB可得∠4+∠N=90°，所以∠3+∠4=90°，即∠MAN=90°，从而得证．

本题考点：全等三角形的判定与性质．

考点点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，已知两组对应边相等，想法证明这两边的夹角相等是解题的关键，思路比较清晰．