题目

已知f（x）=

(3a-1)x+4a(x＜1) logax(x≥1)

是（-∞，+∞）上的减函数，那么a的取值范围是 ___ ．

提问时间：2020-11-01

答案

∵当x≥1时，y=log_ax单调递减，
∴0＜a＜1；
而当x＜1时，f（x）=（3a-1）x+4a单调递减，
∴a＜

1

3

；
又函数在其定义域内单调递减，
故当x=1时，（3a-1）x+4a≥log_ax，得a≥

1

7

，
综上可知，

1

7

≤a＜

1

3

．
故答案为：

1

7

≤a＜

1

3

由分段函数的性质，若f（x）=

(3a−1)x+4a(x＜1) logax(x≥1)

是（-∞，+∞）上的减函数，则分段函数在每一段上的图象都是下降的，且在分界点即x=1时，第一段函数的函数值应大于等于第二段函数的函数值．由此不难判断a的取值范围．

本题考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数单调性的性质；对数函数的单调性与特殊点．

考点点评：分段函数分段处理，这是研究分段函数图象和性质最核心的理念，具体做法是：分段函数的定义域、值域是各段上x、y取值范围的并集，分段函数的奇偶性、单调性要在各段上分别论证；分段函数的最大值，是各段上最大值中的最大者．