题目

如图甲，在正方形ABCD和正方形BEFG中，点A，B，E在同一条直线上，连接DF，且P是线段DF的中点，连接PG，PC．

（1）如图甲中，PG与PC的位置关系是______，数量关系是______；
（2）如图乙将条件“正方形ABCD和正方形BEFG”改为“矩形ABCD和矩形BEFG”其它条件不变，求证：PG=PC．

提问时间：2020-11-01

答案

证明：（1）PG⊥PC，PG=PC；
延长GP交CD于H，

∵P是DF中点，∴DP=FP，
∵点ABE在同一直线上，
∴DC∥GF，
∴∠FDC=∠GFP，
∵在△DPH和△GPF中，

∠FDC＝∠GFP DP＝FP ∠DPH＝∠FPG

，
∴△DPH≌△GPF（ASA）
∴HP=GP，GF=DH，
∴CH=CG，
又∵∠HCG=90°，
∴RT△HCG中，P为HG中点，
∴PC=

1

2

GH=PG，PC⊥PG；
（2）延长GP交CD于H，

∵P是DF中点，∴DP=FP，
∵点ABE在同一直线上，
∴DC∥GF，
∴∠FDC=∠GFP
∵在△DPH和△GPF中，

∠FDC＝∠GFP DP＝FP ∠DPH＝∠FPG

，
∠HPD=∠GPF，
∴△DPH≌△GPF（ASA）
∴HP=GP，
又∵∠HCG=90°，
∴RT△HCG中，P为HG中点，
∴PC=

1

2

GH=PG，
即：PG=PC．

（1）延长GP交CD于H，可证△DPH≌△GPF，即可求得DH=FG，CH=CG，根据等腰三角形底边三线合一可得PC=PG，PC⊥PG；
（2）延长GP交CD于H，可证△DPH≌△GPF，即可求得PH=PG，根据直角三角形底边斜边中线等于斜边一半性质即可解题．

本题考点：全等三角形的判定与性质；矩形的性质；正方形的性质．

考点点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△DPH≌△GPF是解题的关键．