题目

设直线l：y=k（x+1）与椭圆x的平方+3y的平方=a²（a＞0）相交于A.B两个不同的点,与x轴
设直线l：y=k（x+1）与椭圆x的平方+3y的平方=a²（a＞0）相交于A.B两个不同的点,与x轴相交于点C,记O为坐标原点,
（1）证明：a的平方＞（3*k的平方）/（1+3*k的平方）
（2）若向量AC=向量2CB,求△OAB的面积取得最大值时的椭圆方程

提问时间：2020-10-31

答案

C(-1,0).
把y=k(x+1)代入x^2+3y^2=a^2得
x^2+3k^2(x^2+2x+1)=a^2,
(1+3k^2)x^2+6k^2x+3k^2-a^2=0,①
直线与椭圆交于两点,
∴△/4=9k^4-(1+3k^2)(3k^2-a^2)
=-3k^2+a^2+3a^2k^2>0,
a^2(1+3k^2)>3k^2,
a^2>3k^2/(1+3k^2).
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由向量AC=向量2CB得
-1-x1=2(x2+1),
x1+2x2=-3,
由①,x1,2=[-3k^2土√（a^2+3a^2k^2-3k^2)]/(1+3k^2),
∴[-9k^2-√（a^2+3a^2k^2-3k^2)]/(1+3k^2)=-3,
∴√（a^2+3a^2k^2-3k^2)=3,
∴a^2=（9+3k^2)/(1+3k^2),②
|AB|=√△/（1+3k^2)*√（1+k^2),
O到AB的距离d=|k|/√（1+k^2),
∴S△OAB=|k|√（a^2+3a^2k^2-3k^2)/(1+3k^2)=3/（1/|k|+3|k|),
k^2=1/3时面积取最大值√3/2,由②,a^2=5,椭圆方程为x^2+3y^2=5.