题目
⊙O中,AB为直径,CD平分∠ACB交⊙O于D,求证:
=
.
CA+CB |
CD |
2 |
提问时间:2020-10-31
答案
证明:过A作AM⊥CD,过B作BN⊥CD,垂足分别为M、N,
∵AB为直径,CD平分∠ACB交⊙O于D,
∴∠ACD=∠BCD=45°,
∴△ACM与△BCN都是等腰直角三角形,AD=BD,
在Rt△ACM中,CM=
AC,在Rt△BCN中,CN=
BC,
∴CM+CN=
(AC+BC),
∵AB是直径,
∴∠ADB=90°,
∴∠ADM+∠BDN=90°,
又∵∠BDN+∠DBN=90°,
∴∠ADM=∠DBN,
在△ADM与△BDN中,
,
∴△ADM≌△BDN(AAS),
∴DN=AM,
又∵AM=CM(等腰直角三角形两直角边相等),
∴CM=DN,
∴CD=CN+DN=CN+CM=
(AC+BC),
∴
=
.
∵AB为直径,CD平分∠ACB交⊙O于D,
∴∠ACD=∠BCD=45°,
∴△ACM与△BCN都是等腰直角三角形,AD=BD,
在Rt△ACM中,CM=
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2 |
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∴CM+CN=
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∵AB是直径,
∴∠ADB=90°,
∴∠ADM+∠BDN=90°,
又∵∠BDN+∠DBN=90°,
∴∠ADM=∠DBN,
在△ADM与△BDN中,
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∴△ADM≌△BDN(AAS),
∴DN=AM,
又∵AM=CM(等腰直角三角形两直角边相等),
∴CM=DN,
∴CD=CN+DN=CN+CM=
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2 |
∴
AC+BC |
CD |
2 |
根据直径所对的圆周角是直角,以及角平分线的定义可得∠ACD=∠BCD=45°,过A作AM⊥CD,过B作BN⊥CD,垂足分别为M、N,得到△ACM与△BCN都是等腰直角三角形,根据等腰直角三角形斜边与直角边的关系可得CM=
AC,BN=
BC,再利用角角边定理证明△ADM与△BDN全等,根据全等三角形对应边相等得到DN=AM,所以DN=CM,从而得到CM+CN=DN+CN=CD,整理即可得证.
| ||
2 |
| ||
2 |
圆周角定理.
本题考查了圆周角定理,全等三角形的判定与性质,以及等腰直角三角形的判定与性质,作出辅助线构造出等腰直角三角形与全等三角形是解题的关键.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
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