题目

已知点A是椭圆C:x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的短轴上位于x轴下方的端点,过A作斜率为1的直线交椭圆于B点,P点在Y轴上,且BP//X轴,向量AB乘向量AP等于9
1 若P点坐标为（0.1）求椭圆的方程
2 若P点坐标为（0.t）,求t的取值范围

提问时间：2020-10-31

答案

因为AB的斜率为1
所以 角BAP =45度
即△BAP为等腰直角三角形
则 AB =（根号2）AP .(1)
向量AB乘向量AP等于9
AB*AP*cos45度 =9 .(2)
(1),(2)==>AP =3
（1）因为P(0,1) ,则A(0,-2) ,==>B点的坐标为（3,1）.由B在椭圆上,得 9/a^2 +1/4 =1
所以 a^2=12,故椭圆方程为x^2/12 +y^2/4 =1 .
（2）P(0,t)
A(0,t-3) ,
==>B(3,t)
将B 代入椭圆方程
9/a^2 +t^2/(3-t)^2 =1
有 a^2 =3(3-t)^2/(3-2t)
a^2>b^2
3(3-t)^2/(3-2t) >(3-t)^2
==>0< t< 3/2