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题目
在平面直角坐标系xOy中,点D(-2,4),E(-2,-2),F(5,5)都在圆C上.
(1)求圆C的方程;
(2)直线x-y+m=0与圆C交于A,B两点,OA⊥OB时,求m值.

提问时间:2020-10-31

答案
(本小题满分15分)(2011新课标高考题改)
(1)由点D(-2,4),E(-2,-2)坐标,设圆C的圆心为(a,1),
则有(a+2)2+(1-4)2=(a-5)2+(1-5)2,解得a=2.(4分)
则圆C的半径为
(2-5)2+(1-5)2
=5

所以圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=25.(7分)
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),其坐标满足方程组:
x-y+m=0
(x-2)2+(y-1)2=25.

消去y,得到方程2x2+2(m-3)x+m2-2m-20=0.(10分)
由已知可得,判别式△=-4m2-8m+196>0.
从而x1+x2=3-m,x1x2=
m2-2m-20
2

由于OA⊥OB,可得x1x2+y1y2=0,(12分)
又y1=x1+m,y2=x2+m,
所以2x1x2+m(x1+x2)+m2=0.②
由①②得m=-5或m=4,均满足△>0,
故m=-5或m=4(15分)
(1)利用条件判断圆心位置,设出圆心坐标,然后求解圆的圆心与半径,即可求圆C的方程;
(2)联立直线x-y+m=0与圆C的方程,通过韦达定理,利用OA⊥OB的充要条件,推出关系式即可求m值.

A:直线与圆的位置关系 B:圆的标准方程

本题考查圆的方程的求法,直线与圆的位置关系的应用,考查分析问题解决问题的能力,观察分析推出圆心坐标是解题的突破口,也是优化解题过程的关键.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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