题目

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁B₁=A₁C₁，D，E分别是棱BC，CC₁上的点（点D不同于点C），且AD⊥DE，F为B₁C₁的中点．求证：

（1）直线A₁F∥平面ADE      
（2）AD⊥平面BCC₁B₁．

提问时间：2020-10-31

答案

证明：（1）在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AD⊥DE，
又∵CC₁⊥AD
∴AD⊥平面BCC₁B₁，
∴AD⊥BC，
又由A₁B₁=A₁C₁，
则D为BC中点，
∴A₁F∥AD，
∵A₁F⊄平面ADE，AD⊂平面ADE，
∴A₁F∥平面ADE．        
（2）在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
∵A₁B₁=A₁C₁，F为B₁C₁的中点，
∴A₁F⊥B₁C₁，
∵B₁C₁∥BC，∴A₁F⊥BC，
∵A₁F∥AD，AD⊥DE，F为B₁C₁的中点，
∴AD⊥BC，
∴AD⊥平面BCC₁B₁．