题目

在直角坐标系中,以点A（根号3,0）为圆心,以2根号3为半径的圆与x轴相交于点B,C,与y轴相交于点D,E
（1）求D点坐标
（2）若B、C、D三点在抛物线y=ax²+bx+c上,求这个抛物线的解析式
（3）若圆A的切线交于x轴正半轴于点M,交y轴负半轴与点N,切点为P,∠OMN=30°,试判断直线MN是否经过所示抛物线的顶点?说明理由

提问时间：2020-10-31

答案

(1)设(x-根号3)^2+y^2=12
则x=0时,y=3 或 y=-3,所以D点坐标为(0,3) 或(0,-3)
(2)B或C点坐标:
y=0时,x=3根号3 或x=-根号3,它们坐标为(3根号,0) 及(-根号3,0)
将以上三点代入y=ax²+bx+c(假如D((0,3)))
得y=-1/3x^2+(2根号3)x/3+3
当D(0,-3)时,同样方法算出:
y=1/3x^2-(2根号3)x/3-3
(3)
MN
画图,直线MN不可能经过抛物线y=-1/3x^2+(2根号3)x/3+3的顶点
当抛物线为:y=1/3x^2-(2根号3)x/3-3,
顶点为:(根号3,-4)
∠OMN=30°则AM=圆半径/sin30=2根号3/(1/2)=4根号3,OM=根号3(A点横坐标)+4根号3=5根号3
所以M坐标为(5根号3,0)
ON=OMtg30=5根号3*根号3/3=5
所以N坐标为(0,-5)
MN直线方程为,y=(根号3/3)x-5
代入x=根号3
y=-4,
所以直线MN经过抛物线的顶点