题目

在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形 ,侧棱PA⊥底面ABCD,AB=根号3,BC=1,PA=2,E为PD的中点,（1）求直线AC与PB所成角的余弦值 （2）在侧面PAB内找一点N,使NE⊥面PAC,并求出点N到AB和AP的距离

提问时间：2020-10-31

答案

1、分别作CB、DA的延长线BF、AG,使得BF=BC,GA=AD
连接PG,GB得
∵△PAB,△PAG,△PGB均为Rt△
PB=√（PA²+AB²）=√7
PG=√（PA²+AG²）=√5
GB=√（AG²+AB²）=2
由上三条边长度知道△PGB为Rt△
∠PGB=90°
直线AC与PB所成角的余弦值cosa=GB/PB=2/√7=2√7/7
2、找出PA中点M,PB中点G,
EM和MG是△PAD和△PAB的中位线,
ME//AD.MG//AB,
∴平面EMG//平面ABCD,
E在底面投影是AD中点H,从H作HF⊥AC,交AB于F,F点就是所求N点在AB的投影,AF就是N至AP的距离,AH=1/2,AF=HA/√3=√3/6,即N至PA距离为√3/6,
所求N点在平面EMG上,
N至平面ABCD的距离为AP/2=1,也就是至AB距离为1,
∴所求N点距AB为1,距AP为√6/3.