题目

试证：如果A是正定矩阵,那么A的主子式全大于零,这题该怎么解?

提问时间：2020-10-31

答案

首先,由A是正定矩阵,则A与单位矩阵合同,故其行列式>0.
其次,设 f(x1,...,xn) = X'AX= 和号(i从1到n)和号(j从1到n) aijxixj.
构造二次型 f(x1,...,xk) = 和号(i从1到k)和号(j从1到k) aijxixj
则对任意不全为0的数 c1,...,ck
f(c1,...,ck) = 和号(i从1到k)和号(j从1到k) aijcicj = f(c1,...,ck,0,...,0) >0.
所以 f(x1,...,xk) 是正定的,其矩阵也是正定的,由前结论,其矩阵的行列式>0.
而 f(x1,...,xk) 的矩阵就是A的第k个顺序主子式.
故 A的顺序主子式全大于零.
最后,对A的任一主子式A1,可经过对换行与列,调到A的左上角,得矩阵B
B与A合同,故B也正定.A的主子式就是B的顺序主子式,故也大于0.
事实上,A是正定矩阵的充分必要条件是A的主子式全大于零.
这是书上定理吧,北大高代里就有,