题目

通过洛伦兹变换证明任意方向上光速恒为c,希望能够给出完整的证明过程.

提问时间：2020-10-31

答案

现在根据这两个事实,推导坐标的变换式
　设想有两个惯性坐标系分别叫S系、S'系,S'系的原点O‘相对S系的原点O以速率v沿x轴正方向运动.任意一事件在S系、S'系中的时空坐标分别为（x,y,z,t）、（x',y',z',t'）.两惯性系重合时,分别开始计时 　　若x=0,则x'+vt'=0.这是变换须满足的一个必要条件,故猜测任意一事件的坐标从S'系到S系的变换为 　　x=γ(x'+vt') (1) 　　式中引入了常数γ,命名为洛伦兹因子 　　（由于这个变换是猜测的,显然需要对其推导出的结论进行实验以验证其正确性） 　　在此猜测上,引入相对性原理,即不同惯性系的物理方程的形式应相同.故上述事件坐标从S系到S'系的变换为 　　x'=γ(x-vt) (2) 　　y与y'、z与z'的变换可以直接得出,即 　　y'=y (3) 　　z'=z (4) 　　把（2）代入（1）,解t'得 　　t'=γt+(1-γ^2)x/γv (5) 　　在上面推导的基础上,引入光速不变原理,以寻求γ的取值 　　设想由重合的原点O（O'）发出一束沿x轴正方向的光,设该光束的波前坐标为（X,Y,Z,T)、(X',Y',Z',T').根据光速不变,有 　　X=cT (6) 　　X’=cT' (7) 　　（1）（2）相乘得 　　xx'=γ^2( xx'-x'vt+xvt'-v^2*tt') (8) 　　以波前这一事件作为对象,则（8）写成 　　XX'=γ^2(XX'-X'VT+XVT'-V^2*TT') (9) 　　（6）（7）代入（9）,化简得洛伦兹因子 　　γ=[1-(v/c) ^2]^(-1/2) (10) 　　（10）代入（5）,化简得 　　t'=γ(t-vx/c^2) (11) 　　把（2）、（3）、（4）、（11）放在一起,即S系到S'系的洛伦兹变换 　　x'=γ(x-vt),　　y'=y,　　z'=z,　　t'=γ(t-vx/c^2) (12) 　　根据相对性原理,由（12）得S'系到S系的洛伦兹变换 　　x=γ(x'+vt'),　　y=y',　　z=z',　　t=γ(t'+vx'/c^2) (13) 　　下面求洛伦兹变换下的速度变换关系 　　考虑分别从S系和S'系观测一质点P的运动速度.设在S系和S'系中分别测得的速度为u(j,n,m)和u'(j',n',m') 　　由（12）对t'求导即得 S系到S'系的洛伦兹速度变换 　　j'=(j-v)/(1-vj/c^2),　　n'=n/[γ(1-vj/c^2)^-1],　　m'=m/[γ(1-vj/c^2)^-1] (14) 　　根据相对性原理,由（14）得S'系到S系的洛伦兹速度变换 　　j=(j'+v)/(1+vj'/c^2),　　n=n'/[γ(1+vj'/c^2)^-1],　　m=m'/[γ(1+vj'/c^2)^-1] (15) 　　洛伦兹变换结合动量定理和质量守恒定律,可以得出狭义相对论的所有定量结论.这些结论得到实验验证后,也就说明了狭义相对论的正确性