题目

已知A,B为椭圆x^2/4+y^2/3=1的左右两个顶点,F为椭圆的右焦点
已知A B为椭圆x2/4+y2/3=1的左右两个顶点 F为椭圆的右焦点,P为椭圆上异于A B点的任意一点 直线AP BP分别交直线l:x=m(m>2) 于M N点,l交x轴于C点
(1)当PF平行L时,求直线AM的方程
（2）求证,当m=4时以MN为直径的圆过F点

提问时间：2020-10-31

答案

A(-2,0)B(2,0)C(m,0)F(1,0)
(1)PF‖l,于是Xp=1,代入椭圆：Yp=±3/2,即P(1,±3/2)
AM为：x±2y+2=0
(2)设P为(x0,y0)
直线AM为：y=y0(x+2)/(x0+2),M点：(4,6y0/(x0+2))
同理：N(4,2y0/(x0-2))
直线FM的斜率：2y0/(x0+2)
直线FN的斜率：2y0/3(x0-2)
而：2y0/(x0+2)*2y0/3(x0-2)=4y0^2/[3(x0^2-4)]
考虑到：x0^2/4+y0^2/3=1,即：4y0^2=12-3x0^2=3(4-x0^2)
于是：2y0/(x0+2)*2y0/3(x0-2)=-1
∴FM⊥FN
∴以MN为直径的圆过F点