题目

试证明任何一个可逆矩阵的逆矩阵一定是该矩阵的多项式

提问时间：2020-10-31

答案

设f(x)=|xE-A|=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+.+a_1x+a_0
为矩阵A的特征多项式,
因为A可逆,所以 a_0不等于0
又因为f(A)|=A^n+a_{n-1}A^{n-1}+.+a_1A+a_0E=0
所以A^n+a_{n-1}A^{n-1}+.+a_1A=-a_0E
A(A^{n-1}+a_{n-1}A^{n-2}+.+a_1E)=-a_0E
A^{-1}=-a_0^{-1}(A^{n-1}+a_{n-1}A^{n-2}+.+a_1E)
命题成立
任何一个可逆矩阵的逆矩阵一定是该矩阵的多项式