题目

（2012•恩施州）如图,AB是⊙O的弦,D为OA半径的中点,

提问时间：2020-10-31

答案

如图,AB是⊙O的弦,D为OA半径的中点,过D作CD⊥OA交弦AB于点E,交⊙O于点F,且CE=CB．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）连接AF,BF,求∠ABF的度数；
（3）如果CD=15,BE=10,sinA= 5/13,求⊙O的半径．
（1）证明：连接OB
∵OB=OA,CE=CB,
∴∠A=∠OBA,∠CEB=∠ABC
又∵CD⊥OA
∴∠A+∠AED=∠A+∠CEB=90°
∴∠OBA+∠ABC=90°
∴OB⊥BC
∴BC是⊙O的切线．
（2）连接OF,AF,BF,
∵DA=DO,CD⊥OA,
∴△OAF是等边三角形,
∴∠AOF=60°
∴∠ABF= 1/2∠AOF=30°
（3）过点C作CG⊥BE于点G,由CE=CB,
∴EG= BE=5
又Rt△ADE∽Rt△CGE
∴sin∠ECG=sin∠A=5/13 ,
∴CE= EG/sinA=5/(5/16)=13
∴CG= √(CE²-EG²)=√(13²-5²)=12,
又CD=15,CE=13,
∴DE=2,
由Rt△ADE∽Rt△CGE
∴AD/CG=DE/EG
AD=CG×DE/EG=12×2/5=4.8
∴⊙O的半径为2AD=4.8×2=9.6