题目

已知函数f（x）=xlnx．
（Ⅰ）求函数f（x）在[1，3]上的最小值；
（Ⅱ）若存在x∈[

1

e

，e]（e为自然对数的底数，且e=2.71828…）使不等式2f（x）≥-x²+ax-3成立，求实数a的取值范围．

提问时间：2020-10-31

答案

（Ⅰ）由f（x）=xlnx，可得f'（x）=lnx+1，（2分）当x∈(0，1e)时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈(1e，+∞)时，f'（x）＞0，f（x）单调递增．所以函数f（x）在[1，3]上单调递增．又f（1）=ln1=0，所以函数f（x...

（Ⅰ）先求出函数的导函数，研究出原函数在[1，3]上的单调性即可求出函数f（x）在[1，3]上的最小值；
（Ⅱ）先把不等式2f（x）≥-x²+ax-3成立转化为a≤2lnx+x+

3

x

成立，设h(x)=2lnx+x+

3

x

(x＞0)，利用导函数求出h（x）在x∈[

1

e

，e]上的最大值即可求实数a的取值范围．

本题考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数恒成立问题．

考点点评：本题主要研究利用导数求闭区间上函数的最值以及函数恒成立问题．当a≥h（x）恒成立时，只需要求h（x）的最大值；当a≤h（x）恒成立时，只需要求h（x）的最小值．