题目

已知函数f（x）=x³-3ax（a∈R）
（1）当a=1时，求f（x）的极小值；
（2）若直线x+y+m=0对任意m∈R的都不是曲线y=f（x）的切线，求a的取值范围．

提问时间：2020-10-31

答案

（1）令f′（x）=3x²-3=0，得x=±1，
x∈（0，1）时，f′（x）＜0，x∈（-∞，0）∪（1，+∞）时，f′（x）＞0，
∴f（x）的极小值为f（1）=-2；
（2）f（x）=x³-3ax（a∈R），则f′（x）=3x²-3a
若直线x+y+m=0对任意的m∈R都不是曲线y=f（x）的切线，则直线的斜率为-1，f（x）′=3x²-3a与直线x+y+m=0没有交点，
又抛物线开口向上则必在直线上面，即最小值大于直线斜率，
则当x=0时取最大值，-3a＞-1，
则a的取值范围为a＜

1

3

．