题目

已知f（x）=lnx，g（x）=

1

3

x3+

1

2

x2+mx+n，直线l与函数f（x），g（x）的图象都相切于点（1，0）
（1）求直线l的方程及g（x）的解析式；
（2）若h（x）=f（x）-g′（x）（其中g′（x）是g（x）的导函数），求函数h（x）的值域．

提问时间：2020-10-31

答案

（1）直线l是函数f（x）=lnx在点（1，0）处的切线，故其斜率k=f′（1）=1，
所以直线l的方程为y=x-1．（2分）
又因为直线l与g（x）的图象相切，
所以g(x)＝

1

3

x3+

1

2

x2+mx+n在点（1，0）的导函数值为1．

g(1)＝0 g′(1)＝1

⇒

m＝−1 n＝ 1 6

所以g(x)＝

1

3

x3+

1

2

x2−x+

1

6

（6分）
（2）因为h（x）=f（x）-g′（x）=lnx-x²-x+1（x＞0）（7分）
所以h′(x)＝

1

x

−2x−1＝

1−2x2−x

x

＝−

(2x−1)(x+1)

x

（9分）
当0＜x＜

1

2

时，h′（x）＞0；当x＞

1

2

时，h′（x）＜0（11分）
因此，当x＝

1

2

时，h（x）取得最大值h(

1

2

)＝

1

4

−ln2（12分）
所以函数h（x）的值域是(−∞，

1

4

−ln2]．（13分）

（1）根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=1处的导数，从而求出切线的斜率，再用点斜式写出切线方程，化成斜截式即可，再根据直线l与g（x）的图象相切，所以g（x）在点（1，0）的导函数值为1，建立方程组，解之即可求出g（x）的解析式；
（2）先利用导数研究出函数h（x）在（0，+∞）的单调性，连续函数在区间（0，+∞）内只有一个极值，那么极大值就是最大值．

本题考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用．

考点点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及恒成立问题，同时考查了转化与划归的思想，属于基础题．