题目
函数f(x)=ax2+2x+1,若对任意x∈[1,+∞),f(x)>0恒成立,则实数a的取值范围是______.
提问时间:2020-10-31
答案
当a=0时,函数f(x)=ax2+2x+1化为f(x)=2x+1,满足对任意x∈[1,+∞),f(x)>0恒成立;
当a≠0时,要使对任意x∈[1,+∞),f(x)>0恒成立,
则
①
或
,即
②
解①得,a>1.
解②得,0<a≤1.
综上,对任意x∈[1,+∞),f(x)>0恒成立的实数a的取值范围是a≥0.
故答案为a≥0.
当a≠0时,要使对任意x∈[1,+∞),f(x)>0恒成立,
则
|
或
|
|
解①得,a>1.
解②得,0<a≤1.
综上,对任意x∈[1,+∞),f(x)>0恒成立的实数a的取值范围是a≥0.
故答案为a≥0.
要使函数f(x)=ax2+2x+1对任意x∈[1,+∞),都有f(x)>0恒成立,a有可能等于0或大于0,然后分这两种情况讨论,a=0时为一次函数,显然成立;a>0时,又分判别式小于0和大于等于0两种情况,特别是判别式大于0时,需借助于二次函数的对称轴及f(1)的符号列式求解.
二次函数的性质.
本题考查了二次函数的性质,考查了分类讨论的数学思想方法,训练了利用“三个二次”的结合求解参数问题,是中档题.
举一反三
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想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
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