题目

已知△ABC的两边长a,b是关于x的方程x²-（2k+3）x+k²+3k+2=0的两个实数根,第三边长c=5
（1）k为何值时,△ABC是以c为斜边的直角三角形；
（2）k为何值时,△ABC是等腰三角形.

提问时间：2020-10-31

答案

平方不会打,你注意一下吧
(1)∵a、b的长是关于x的一元二次方程x2-（2k+3）x+k2+3k+2=0的两个实数
∴a+b=2k+3 a*b=k^2+3k+2(韦达定理)
又∵△ABC是以c为斜边的直角三角形,且c=5
∴a^2+b^2=c^2
∴(a+b)^2-2a*b=25
∴k^2+3k-10=0
k=-5或k=2
当k=-5时,x1=-3 x2=-4(舍去)
当k=2时,x1=3,x2=4
∴k=2
(2)若△ABC是等腰三角形,则有
①a＝b；②a＝c；③b＝c三种情况
∵△＝( 2k＋3 )2－4( k 2 ＋3k＋2 )＝1＞0
∴a≠b,故第①种情况不成立
∴当a＝c或b＝c时,5是方程x^2－(2k＋3)x＋k^2 ＋3k＋2＝0的根
∴即k^2－7k＋12＝0,解得k1＝3,k2＝4
当k＝3时,方程为x^2－9x＋20＝0,解得x1＝4,x2＝5
此时△ABC的三边长分别为5、5、4,周长为14
当k＝4时,方程为x^2－11x＋30＝0,解得x1＝5,x2＝6
此时△ABC的三边长分别为5、5、6,周长为16