题目

证明:若群G的n阶子群有且只有一个,则此子群必为 G的正规子群.
近世代数题

提问时间：2020-10-31

答案

给你写个详细点的,肯定对的证明好了：
设H是G的n阶子群,任取G中一个元素g,
构造如下集合H(g)={ghg^(-1)|h属于H}
现在证明H(g)是G的子群.
任取gh1g^-1,gh2g^-1属于H(g)
则,gh1g^-1*(gh2g^-1)^-1=g(h1h2^-1)g^-1
因为h1h2^-1属于H,所以g(h1h2^-1)g^-1属于H(g)
所以H(g)是G的子群.且由消去律知道gh1g^-1=gh2g^-1可以推出h1=h2
所以|H(g)|=n 又因为H是G中唯一的n阶子群,所以H(g)=H
即任取g属于G 任取h属于H 有 ghg^-1属于H 所以H是G的正规子群
容易验证gH和Hg都是G的n阶子群,但是G得n阶子群只有一个
所以有gH=Hg=H,所以H是G的正规子群