题目

求证：已知函数f（x）是（-∞，+∞）上的增函数，a，b∈R，若f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b），则a+b≥0．

提问时间：2020-10-31

答案

证明：法一：原命题的逆否命题为“已知函数f（x）是（-∞，+∞）上的增函数，a，b∈R，若a+b＜0，则f（a）+f（b）＜f（-a）+f（-b）”．
若a+b＜0，则a＜-b，b＜-a，
又∵f（x）是（-∞，+∞）上的增函数，
∴f（a）＜f（-b），f（b）＜f（-a），
∴f（a）+f（b）＜f（-a）+f（-b）．
即原命题的逆否命题为真命题，
∴原命题为真命题．
法二：假设a+b＜0，则a＜-b，b＜-a，
又∵f（x）在（-∞，+∞）上是增函数，
∴f（a）＜f（-b），f（b）＜f（-a），
∴f（a）+f（b）＜f（-a）+f（-b），
这与已知f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b）相矛盾，
因此假设不成立，故a+b≥0．