题目

已知函数y=log1/a (a^x）*loga^2 (1/ ax) (2≤x≤4) 的最大值为0,最小值为-1/8,求a的值

提问时间：2020-10-31

答案

y=log(1/a,a^x)×log(a^2,1/ax)（前一个是底,后一个是真数）
=log(a,a^x)/log(a,1/a)×log(a,1/ax)/log(a,a^x)（换底公式）
=x/(-1)×[-1+log(a,1/x)]/x
=1-log(a,1/x)
其中2≤x≤4,y最大值为0,最小值为-1/8.
显然,y是单调函数,
（1）若x=2时,y=0,则
1=log(a,1/2),a=1/2；
但对应的,x=4时,y=1-log(1/2,1/4),y=1-2=-1≠-1/8
故a=1/2舍去
（2）若x=4时,y=0,则
1=log(a,1/4),a=1/4；
但对应的,x=2时,y=1-log(1/4,1/2)=1-1/2=1/2≠-1/8
故a=1/4舍去.
【】莫非理解错题目了?
注：对数的换底公式
log(x,y)=log(a,y)/log(a,x),（其中0＜a、x＜1或a、x＞1,y＞0）