题目

在用拉格朗日乘数法做多元函数的条件极值时,求各个偏导所组成的方程组时,即：
f对x的偏导=0
f对y的偏导=0
f对λ的偏导=0
最后的解里λ可以取0吗,为什么,请答的详细些,好的可以再加分!
求z=xy^2在x^2+y^2=1下的极值 为什么驻点坐标不算x=1,y=λ=0和x=-1,y=λ=0这两个点呢？

提问时间：2020-10-31

答案

由拉格朗日乘数法的推导过程可以看出,λ≠0,否则驻点(x0,y0)满足的式子就变成了
f对x的偏导=0
f对y的偏导=0
f对λ的偏导=0
前面两个式子一般是不成立的.
求z=xy^2在x^2+y^2=1下的极值?一般应该是求最大值、最小值!
一种方法是化成一元函数的极值z＝x(1－x^2),－1≤x≤1.
用拉格朗日乘数法的话,设L(x,y)＝xy^2＋λ(x^2＋y^2－1),解方程组
y^2＋2λx＝0
2xy＋2λy＝0
x^2＋y^2＝1
前两个方程求出x＝－λ,y^2＝2λ^2,代入第三个式子得λ＝±1/√3,所以x＝±1/√3,y＝±√(2/3),比较4个驻点处的函数值可得最大值和最小值