当前位置: > 在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足2bcosA=ccosA+acosC. (1)求角A的大小; (2)若a=3,S△ABC=334,试判断△ABC的形状,并说明理由....
题目
在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足2bcosA=ccosA+acosC.
(1)求角A的大小;
(2)若a=
3
,S△ABC=
3
3
4
,试判断△ABC的形状,并说明理由.

提问时间:2020-10-31

答案
(1)由2bcosA=ccosA+acosC及正弦定理,得2sinBcosA=sin(A+C)=sinB,即sinB(2cosA-1)=0,
∵0<B<π,∴sinB≠0,
∴cosA=
1
2

∵0<A<π,
∴A=
π
3

(2)∵S△ABC=
1
2
bcsinA=
3
3
4
,即
1
2
bcsin
π
3
=
3
3
4

∴bc=3,①
∵a2=b2+c2-2bccosA,a=
3
,A=
π
3

∴b2+c2=6,②
由①②得b=c=
3

则△ABC为等边三角形.
(1)已知等式利用正弦定理化简,根据sinB不为0求出cosA的值,由A的范围即可确定出A的度数;
(2)利用三角形的面积公式列出关系式,将sinA与已知面积代入求出bc的值,再由余弦定理列出关系式,将cosA,a的值代入求出b2+c2的值,联立求出b与c的值,即可确定出三角形的形状.

正弦定理;三角形的形状判断.

此题考查了三角形形状的判断,涉及的知识有:正弦、余弦定理,三角形的面积公式,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握定理及公式是解本题的关键.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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