题目

A,B,C分别为MxM,NxN,MxN矩阵（M>N）,且AC=CB,C的秩为r.证明：A和B至少有r个相同的特征值.

提问时间：2020-10-31

答案

有个用分块矩阵的证明, 我做了个图片版.



其实用线性变换, 不变子空间和商空间的语言可以给出一种更优美的证明, 只是相对抽象.
用到以下引理:
设A是V上的线性变换, W是一个A的不变子空间, 则A的特征多项式等于A在W上限制的特征多项式乘以A在商空间V/W上约化的特征多项式.
本质上和上面证明得到的|λE−A| = |λE−R|·|λE−U|是一回事, 这里就不证了.
证明: 设线性空间M,N的维数分别为m,n, 各取定一组基.
M上具有矩阵A的线性变换仍记为A, N上具有矩阵B的线性变换仍记为B.
N到M的具有矩阵C的线性映射仍记为C, 则由条件成立线性映射的等式AC=CB.
C的核ker(C) (满足CX=0的X全体)是N的一个n-r维子空间, 而且是B的不变子空间.
B-不变是因为若X∈ker(C), 即有CX=0, 则C(BX)=ACX=0, 可得BX∈ker(C).
另一方面, C的像集im(C) (即C(N))是M的一个r维子空间, 而且是A的不变子空间.
A-不变是因为若Y∈im(C), 即存在X∈N使CX=Y, 则AY=ACX=C(BX), 也有AY∈im(C).

由同态基本定理, C给出商空间N/ker(C)到im(C)的一个同构.
而条件AC=CB说明, 在C给出的同构下, B在N/ker(C)的约化恰好对应A在im(C)的限制.
在N/ker(C)与im(C)上取对应的基(前面取Z, 后面就取CZ), 则二者有相同的矩阵.
于是有相同的特征多项式, 次数为r(即N/ker(C)和im(C)的维数).
但B在N/ker(C)约化的特征多项式整除B的, A在im(C)限制的特征多项式整除A的.
于是A,B的特征多项式有次数为r的公因式, 至少有r个公共特征值.