题目

已知二次函数f（x）=ax²+bx（a、b∈R）满足：①f（4+x）=f（4-x）②对一切x∈R，都有f（x）≤x，
（1）求f（x）；
（2）设集合A={x∈R|f（x）＞0}，B={x∈R|2x²-3（1+a）x+6a＜0}，若A∩B=B，求实数a的取值范围．

提问时间：2020-10-31

答案

（1）∵函数f（x）=ax²+bx满足：f（4+x）=f（4-x），
故函数f（x）=ax²+bx的图象关于直线x=4对称，
故−

b

2a

＝4，即b=-8a…①，
又∵对一切x∈R，都有f（x）≤x，
故f（x）-x=ax²+（b-1）x≤0恒成立，
故

a＜0 (b−1)2≤0

…②
解得b=1，a=-

1

8

，
故f（x）=-

1

8

x²+x；
（2）∵集合A={x∈R|f（x）＞0}={x∈R|-

1

8

x²+x＞0}=（0，8），
①若△=9（1+a）²-4×2×6a=9a²-30a+9≤0，则

1

3

≤a≤3，
此时B={x∈R|2x²-3（1+a）x+6a＜0}=∅，满足A∩B=B，
②若△=9（1+a）²-4×2×6a=9a²-30a+9＞0，则a＜

1

3

或a＞3，
此时若B={x∈R|2x²-3（1+a）x+6a＜0}满足A∩B=B，
则

0＜ 3(1+a) 4 ＜8 6a＞0 −18a+104＞0

解得：0＜a＜

52

9

∴0＜a＜

1

3

，或3＜a＜

52

9

综上所述实数a的取值范围为（0，

52

9

）

（1）由二次函数f（x）=ax²+bx（a、b∈R）满足：①f（4+x）=f（4-x）②对一切x∈R，都有f（x）≤x，可得函数f（x）=ax²+bx的图象关于直线x=4对称，即f（x）-x=ax²+（b-1）x≤0恒成立，由此求出a，b的值可得答案；
（2）分B=∅和B≠∅两种情况，分析满足条件A∩B=B的实数a的取值范围，最后综合讨论结果，可得满足条件的实数a的取值范围．

本题考点：二次函数的性质；函数解析式的求解及常用方法．

考点点评：本题考查的知识点是二次函数的性质，函数解析式的求解法，其中求出函数的解析式是解答的关键．