题目

方程4x的平方-2xy-12x+5y+11=0有几组正整数解

提问时间：2020-10-31

答案

原方程变形得：4x²－2﹙y＋6﹚x＋5y＋11=0,
则Δ=[－2﹙y＋6﹚]²－4×4﹙5y＋11﹚=4﹙y²－8y－8﹚,
∵x、y都是正整数,∴Δ一定是某正整数的平方,
∴可设y²－8y－8=p²,则﹙y－4﹚²=p²＋24,
∴再设p²＋24=q²,
∴q²－p²=24,
∴﹙q＋p﹚﹙q－p﹚=24,
∵﹙q＋p﹚、﹙q－p﹚同奇同偶,
∴只有两种情况：
⑴q＋p=12,q－p=2,解得：q=7,p=5,
⑵q＋p=6,q－p=4,解得：q=5,p=1,
∴Δ=10²或2²,∴y=14或6或2,
∴当Δ=10²,y=14时,x=[2﹙y＋6﹚±Δ]／﹙2×4﹚=﹙20±5﹚／4不是正整数.∴这种情况无解.当Δ=2²,y=6时,x=[2﹙y＋6﹚±Δ]／﹙2×4﹚=﹙12±1﹚／4不是正整数,∴这种情况无解.当Δ=2²,y=2时,x=﹙8±1﹚／2不是正整数,∴这种情况也无解.∴综上这个方程没有正整数解.