题目

小弟十分感谢了!
P.S：我要弄懂这类型的题是怎么做的谢谢!过程完整清晰的话再加分了!
1、lim = [(x + h)^3-x^3] / h
(x - 0)
2、lim = sin2x / sin7x
(x - 0)
3、lim = (1 - cos2x) / (xsinx)
(x - 0)
4、lim2^n * sin(x / 2^n) (X不等于0)
(n - 无限)
5、lim[(1 + 2)/x]^(x + 3)
(n - 无限)
6、lim[(1 + x) / x]^2x
(x - 无限)

提问时间：2020-10-30

答案

1、lim = [(x + h)^3-x^3] / h
(x - 0)
（x + h)^3-x^3=[(x+h)-x][(x+h)^2+ x(x+h)+ h^2]
原式就等于lim [(x + h)^3-x^3] / h
(x - 0)

= lim [(x + h)^2+x(x+h)+h^2]
(x - 0)
=2h^2
2、lim = sin2x / sin7x
(x - 0)
等价无穷小的替换公式sinx ~ x(x趋向0时)
原式就等于
lim sin2x / sin7x
(x - 0)

=2x/7x

=2/7
3、lim (1 - cos2x) / (xsinx)
(x - 0)
等价无穷小的替换公式(1)sinx ~ x (2)1-cosx~ x^2/2(x趋向0时)
原式就等于
lim (1 - cos2x) / (xsinx)
(x - 0)
=lim [(2x)^2]/2/x^2

=2
4、lim 2^n * sin(x / 2^n) (X不等于0)
(n - ∞)
=lim sin(x/2^n)
（n-∞）--------- * x
x/2^n

n-∞时 x/2^n(这里视x为常数)趋向于0
等价无穷小的替换公式sinx ~ x(x趋向0时)
原式等于
=x
5、lim[1 + 2/x]^(x + 3)
(x - 无限)
此种类型对应于1∞型,公式lim(1+ 1/x)^(x) =e
原式等于=
lim[1 + 2/x]^x * lim[1 + 2/x]^3
(x-∞） (x-∞)
=lim{[1+1/(x/2)]^(x/2)}^2 *1

=e^2
6、lim[(1 + x) / x]^2x
(x - 无限)
此种类型对应于1∞型,公式lim(1+ 1/x)^(x) =e
(x-∞)
原式=lim[(1+1/x)^x]2
(x - 无限

=e^2