题目

已知△ABC的周长为4(

2

+1)，且sinB+sinC＝

2

sinA．
（Ⅰ）求边长a的值；
（Ⅱ）若S_△ABC=3sinA，求cosA的值．

提问时间：2020-10-30

答案

（I）根据正弦定理，sinB+sinC＝

2

sinA
可化为b+c＝

2

a．
联立方程组

a+b+c＝4( 2 +1) b+c＝ 2 a

，
解得a=4．
∴边长a=4；
（II）∵S_△ABC=3sinA，
∴

1

2

bcsinA＝3sinA，bc＝6．
又由（I）可知，b+c＝4

2

，
∴cosA＝

b2+c2−a2

2bc

＝

(b+c)2−2bc−a2

2bc

＝

1

3

．

（I）根据正弦定理把sinB+sinC＝

2

sinA转化为边的关系，进而根据△ABC的周长求出a的值．
（II）通过面积公式求出bc的值，代入余弦定理即可求出cosA的值．

本题考点：余弦定理的应用；正弦定理的应用．

考点点评：本题主要考查了余弦定理、正弦定理和面积公式．这几个公式是解决三角形边角问题的常用公式，应熟练记忆，并灵活运用．