题目
若a＞3，则方程x3-ax2+1=0在（0，2）上的实根个数是（ ）
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
提问时间：2020-10-30
答案
方程x3-ax2+1=0在（0，2）上的实根，即为函数f（x）=x3-ax2+1=0在（0，2）上的零点，
∵f′（x）=3x2-2ax=x（3x-2a），a＞3，
∴当x∈（0，2）时，f′（x）＜0恒成立，
故函数f（x）=x3-ax2+1=0在（0，2）上为减函数，
∵f（0）=1＞0，f（2）=9-4a＜0，
故函数f（x）=x3-ax2+1=0在（0，2）上有且只有一个零点，
即方程x3-ax2+1=0在（0，2）上的实根个数是1个，
故选：B．
∵f′（x）=3x2-2ax=x（3x-2a），a＞3，
∴当x∈（0，2）时，f′（x）＜0恒成立，
故函数f（x）=x3-ax2+1=0在（0，2）上为减函数，
∵f（0）=1＞0，f（2）=9-4a＜0，
故函数f（x）=x3-ax2+1=0在（0，2）上有且只有一个零点，
即方程x3-ax2+1=0在（0，2）上的实根个数是1个，
故选：B．
举一反三
已知函数f（x）=x，g（x）=alnx，a∈R．若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）相交，且在交点处有相同的切线，求a的值和该切线方程．
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