题目
如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,AD⊥CD,DB平分∠ADC,E是PC的中点,AD=CD=1,DB=2
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(Ⅰ)求证:PA∥平面BDE;
(Ⅱ)求证:AC⊥平面PBD;
(Ⅲ)求直线BC与平面PBD所成的角的正弦值.
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(Ⅰ)求证:PA∥平面BDE;
(Ⅱ)求证:AC⊥平面PBD;
(Ⅲ)求直线BC与平面PBD所成的角的正弦值.
提问时间:2020-10-30
答案
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/bd3eb13533fa828bb89b24ecfb1f4134970a5a00.jpg)
在△ADC中,因为AD=CD,且DB平分∠ADC,
所以H为AC的中点.又由题设,E为PC的中点,
故EH∥PA.又EH⊂平面BDE,PA不包含于平面BDE,
所以PA∥平面BDE.
(II)证明:因为PD⊥平面ABCD,
AC⊂平面ABCD,所以PD⊥AC.
由(I)得,DB⊥AC.
又PD∩DB=D,故AC⊥平面PBD.
(Ⅲ) 由AC⊥平面PBD知,
BH为BC在平面PBD内的射影,
所以∠CBH为直线BC与平面PBD所成的角.
由AD⊥CD,AD=CD=1,DB=2
2 |
得DH=CH=
| ||
2 |
3
| ||
2 |
5 |
在Rt△BHC中,sin∠CBH=
CH |
BC |
| ||||
|
3
| ||
10 |
所以直线BC与平面PBD所成的角的正弦值为
3
| ||
10 |
(I)设AC∩BD=H,连结EH,由三角形中位线定理得EH∥PA.由此能证明PA∥平面BDE.
(II)由线面垂直得PD⊥AC,由(I)得,DB⊥AC,由此能证明AC⊥平面PBD.
(Ⅲ)由AC⊥平面PBD知,∠CBH为直线BC与平面PBD所成的角.由此能求出直线BC与平面PBD所成的角的正弦值.
(II)由线面垂直得PD⊥AC,由(I)得,DB⊥AC,由此能证明AC⊥平面PBD.
(Ⅲ)由AC⊥平面PBD知,∠CBH为直线BC与平面PBD所成的角.由此能求出直线BC与平面PBD所成的角的正弦值.
直线与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定.
本题考查直线与平面平行的证明,考查直线与平面垂直的证明,考查直线与平面所成角的正弦值的求法,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养.
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已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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